Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

A.       Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, dan seterusnya. Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan.

Contoh :

a.    Jakarta adalah ibu kota Negara Republik Indonesia.

b.   8 adalah bilangan ganjil.

c.    Sudahkah anda makan?

Kalimat (a) merupakan pernyataan yang bernilai benar, kalimat (b) merupakan pernyataan yang bernilai salah dan kalimat (c) bukan merupakan pernyataan, karena tidak bernilai benar atau salah

Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Variabel adalah simbol untuk menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Untuk memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan contoh berikut.

a.    6 x +  3 = 9

b.   y – 3 < 9

c.    Kota itu bersih, indah dan teratur.

Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat terbuka karena belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Pada kalimat (a), jika kita ganti variabel x dengan 3 maka kalimat (a) tidak lagi berupa kalimat terbuka, sekarang (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai salah tetapi jika kita ganti variabel x dengan 1 maka (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Jika kita ganti variabel “itu” pada kalimat (c) dengan Jakarta, maka (c) belum menjadi pernyataan karena tetap harus diselidiki nilai kebenarannya.

B.       Operasi Logika

1.      Negasi

Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar.

Jika pada suatu pernyataan p, diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan pernyataan p atau jika mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p.

Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar. Jadi, nilai kebenaran negasi suatu pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini.

p	~p
B S	S B

Contoh:

a.    p      :  Semua bilangan pecahan adalah ganjil.

~p   :  Tidak benar bahwa semua bilangan pecahan adalah ganjil.

~p   :  Ada bilangan pecahan yang tidak ganjil.

b.   q      :  2 + 2 = 5

~q   :  Tidak benar 2 +2 =5

2.      Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Ù q”.

konjungsi dua pernyataan akan bernilai benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.

p	q	p Ù q
B B S S	B S B S	B S S S

Contoh :

 p          :  2 + 3 = 5 (benar)

q          :  5 adalah bilangan prima (benar)

p Ù q    :  2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima (benar)

3.      Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Ú q”.

Nilai kebenaran disjungsi p Ú q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar serta salah satu diantara p dan q benar, maka p Ú q benar. Jika p dan q dua-duanya salah maka p Ú q salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.

p	q	p Ú q
B B S S	B S B S	B B B S

Contoh :

 p          :  5 + 3 = 8 (benar)

q          :  8 adalah bilangan genap (benar)

p Ú  q :  5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan genap (benar)

4.      Implikasi

Implikasi (pernyataan bersyarat/kondisional) adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika “jika . . . maka . . .”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Þ q”, dapat dibaca “jika p maka q”.

Nilai kebenaran implikasi p Þ q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah, maka p Þ q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p Þ q dinyatakan benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.

p	q	p Þ q
B B S S	B S B S	B S B B

Contoh :

p          :  5 + 3 = 8 (benar)

q          :  8 adalah bilangan genap (benar)

p Þ q  :  jika 5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar)

5.      Biimplikasi

Jika dua pernyataan p dan q dirangkai dengan menggunakan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”, maka diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Û q”.

Nilai kebenaran biimplikasi p Û q memenuhi sifat berikut: p Û q dinyatakan benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. p Û q dinyatakan salah jika mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.

p	q	p Û q
B B S S	B S B S	B S S B

Contoh:

p          :  2 + 6 = 8 (benar)

q          :  2 < 8 (benar)

p Û q   :  2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar)